Простые числа - это числа, которые делятся только на 1 и на себя само, без остатка. Если два числа не имеют общих делителей, то они называются взаимно простыми. Доказательство невзаимной простоты чисел 136 и 119 поможет нам убедиться, что они не имеют общих делителей и, следовательно, не являются взаимно простыми.
Для начала рассмотрим число 136. Мы можем его разложить на простые множители. Представим это число в виде произведения его простых множителей: 2 * 2 * 2 * 17. Теперь рассмотрим число 119. Также разложим его на простые множители: 7 * 17. Как видим, числа 136 и 119 имеют общий простой множитель - 17.
Таким образом, мы можем заключить, что числа 136 и 119 не являются взаимно простыми, так как они имеют общий делитель, а именно число 17. Доказательство невзаимной простоты чисел 136 и 119 подтверждает, что они не являются простыми числами и имеют общие делители, что делает их не взаимно простыми.
Определение невзаимной простоты
Невзаимная простота двух чисел означает, что данные числа не имеют общих делителей, кроме 1. Таким образом, если у двух чисел нет других общих делителей, кроме 1, то они считаются невзаимно простыми. Это свойство чисел позволяет нam использовать их в криптографии и других областях, где требуется высокий уровень безопасности.
Для определения невзаимной простоты двух чисел важно найти их общие делители. В данном случае, числа 136 и 119 будут считаться невзаимно простыми, если мы не сможем найти делители, отличные от 1. В противном случае, мы найдем общий делитель, что будет означать, что числа не являются невзаимно простыми.
| Число 136: | 1 | 2 | 4 | 8 | 17 | 34 | 68 | 136 |
| Число 119: | 1 | 7 | 17 | 119 |
Просмотрев таблицу, мы видим, что оба числа имеют общий делитель - 17. Значит, числа 136 и 119 не являются невзаимно простыми.
Основные теоремы о невзаимной простоте
Основные теоремы о невзаимной простоте включают следующие утверждения:
| Теорема | Формулировка |
|---|---|
| Теорема Эйлера | Если два числа a и n являются взаимно простыми, то a^φ(n)≡1 (mod n), где φ(n) - функция Эйлера, равная количеству целых чисел, не превосходящих n и взаимно простых с ним. |
| Теорема Ферма | Если p - простое число, то для любого целого числа a, не делящегося на p, справедливо a^(p-1)≡1 (mod p). |
| Теорема Вильсона | Если p - простое число, то (p-1)!≡-1 (mod p). |
Теорема о невзаимной простоте двух чисел
Для доказательства этой теоремы, допустим, что числа $a$ и $b$ являются простыми и взаимно простыми. То есть их наибольший общий делитель равен 1.
Согласно определению, последовательность чисел ({2, 3, 4, 5, ..., n-1, n}) называется простым, если ни одно из этих чисел не делится на другое число из этой последовательности без остатка. То есть, если $a$ и $b$ просты, то они не имеют общих делителей, кроме 1.
Однако, если $a$ и $b$ были бы взаимно простыми, значит, их наибольший общий делитель равен 1. Это означает, что они не могут быть простыми числами одновременно. Таким образом, теорема о невзаимной простоте двух чисел доказана.
Эта теорема является важным инструментом в теории чисел и применяется для решения различных математических задач.
Лемма о делителях чисел
Для доказательства невзаимной простоты двух чисел необходимо рассмотреть их делители. Лемма о делителях чисел формулирует следующее утверждение: если у двух чисел есть общий делитель, то у их наименьшего общего кратного также будет этот делитель.
Пусть a и b - два числа, c - их наименьшее общее кратное, и d - их общий делитель. Тогда справедлива формула a = dm и b = dn, где m и n - некоторые натуральные числа.
Так как c является кратным числам a и b, то можно записать c = ax = by, где x и y - некоторые натуральные числа.
Из формул a = dm, b = dn и c = ax = by следует, что ax = by = (dm)x = (dn)y.
Домножим обе части последнего уравнения на d: (dx) = (dy).
Таким образом, мы получили, что dx и dy делятся на d, т.е. d является делителем чисел dx и dy.
Итак, если два числа имеют общий делитель, то он будет делителем их наименьшего общего кратного. При доказательстве невзаимной простоты чисел это утверждение можно использовать для опровержения наличия общих делителей.
Разложение чисел на простые множители
Для доказательства невзаимной простоты чисел 136 и 119 требуется разложение этих чисел на простые множители.
Для числа 136 разложим его на простые множители:
| Число | Простые множители |
|---|---|
| 136 | 2 |
| 68 | 2 |
| 34 | 2 |
| 17 | 17 |
Таким образом, число 136 разлагается на простые множители: 2 * 2 * 2 * 17.
Аналогично, разложим число 119 на простые множители:
| Число | Простые множители |
|---|---|
| 119 | 7 |
| 17 | 17 |
Следовательно, число 119 разлагается на простые множители: 7 * 17.
Таким образом, числа 136 и 119 являются невзаимно простыми, так как они не имеют общих простых множителей.
Проверка условий невзаимной простоты
Для доказательства невзаимной простоты чисел 136 и 119 необходимо проверить выполнение двух условий:
1. Общих делителей у данных чисел быть не должно.
Чтобы это доказать, необходимо найти все простые числа, которые являются делителями числа 136: 2 и 17. Затем нужно проверить, являются ли они также делителями числа 119. Если общих простых делителей не найдено, это свидетельствует о невзаимной простоте чисел 136 и 119.
2. Наименьшим общим делителем у данных чисел должна являться единица.
Для проверки этого условия необходимо найти все простые числа-делители числа 136: 2 и 17. Затем нужно найти все простые числа-делители числа 119: 7 и 17. Наименьшим общим делителем для этих чисел будет 17. Если наименьший общий делитель равен единице, значит числа 136 и 119 будут взаимно простыми.
Таким образом, проверка условий невзаимной простоты позволяет определить, являются ли числа 136 и 119 невзаимно простыми или нет.
